تخفیف 50 درصدی تمامی محصولات آموزشی تدریس20
کد تخفیف: tadris50
روز
ساعت
دقیقه
ثانیه
کد تخفیف: tadris50
در این آموزش رایگان از درس استاتیک، نحوه جمع دو بردار و بهدستآوردن بردار برآیند را با یک مثال عددی بررسی میکنیم. ابتدا مؤلفههای هر بردار را در راستای محورهای \(x\) و \(y\) به دست میآوریم و سپس با جمع مؤلفههای متناظر، بردار برآیند را محاسبه میکنیم.
مثال: دو بردار نشان داده شده در شکل زیر را با هم جمع کنید و برآیند آنها را به دست آورید؟
در ویدئوی زیر، جمع دو بردار با استفاده از مؤلفههای \(x\) و \(y\) به صورت مرحلهبهمرحله حل شده است.
بردار ها را به دو روش میتوانیم با هم جمع کنیم:
1- روش جبری
2- روش هندسی
روش هندسی دو قسمت میشه
الف: روش مثلثی
ب: روش متوازی الاضلاع
روش جبری
در روش جبری، هر بردار را به مؤلفههاش در راستای \(x\) و \(y\) تجزیه کرده و سپس مؤلفههای متناظر را با هم جمع میکنیم.
در آموزش تجزیه بردار، نحوه تجزیه بردار را کامل توضیح دادم.
روش مثلثی
در این روش:
1- ابتدا بردار \( \vec{a} \) را از یک نقطه رسم میکنیم.
2- از انتهای بردار \( \vec{a} \)، بردار \( \vec{b} \) را رسم میکنیم.
3- ابتدای بردار \( \vec{a} \) را به انتهای بردار \( \vec{b} \) وصل میکنیم. بردار حاصل، بردار برآیند \( \vec{R} \) است.
در نهایت:
\[
\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}
\]
روش متوازی الاضلاع
در این روش:
1- ابتدا از یک نقطه مشخص بردار \( \vec{a} \) را رسم میکنیم.
2- از همان نقطه بردار بردار \( \vec{b} \) را رسم میکنیم.
3- از انتهای بردار \( \vec{a} \) یک خط چین موازی بردار \( \vec{b} \) رسم میکنیم.
4- از انتهای بردار \( \vec{b} \) یک خط چین موازی بردار \( \vec{a} \) رسم میکنیم.
5- از ابتدای دو بردار \( \vec{a} \) و \( \vec{b} \) یک بردار به محل تقاطع دو خط چین وصل میکنیم و این بردار میشه همان بردار برآیند.
در نهایت:
\[
\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}
\]
این مثال را به روش جبری حل میکنیم.
همان طور که در بالا گفتم در روش جبری، هر بردار را به مؤلفههاش در راستای \(x\) و \(y\) تجزیه کرده و سپس مؤلفههای متناظر را با هم جمع میکنیم.
مرحله 1: تجزیه بردار \(a\) به مؤلفههای \(x\) و \(y\)
همانند آموزش تجزیه بردار، ابتدا مؤلفههای بردار \(a\) را محاسبه میکنیم.
با توجه به اینکه بردار \(a\) زاویه \(30^\circ\) نسبت به محور \(y\) می سازد:
$$ a_y=a\cos30^\circ $$
پس:
$$ a_y=40\cos30^\circ=34.64 $$
و
$$ a_x=-a\sin30^\circ $$
بنابراین:
$$ a_x=-40\sin30^\circ=-20 $$
چون \(a_x\) خلاف جهت محور \(x\) است، علامت منفی میگیره
بنابراین بردار \(a\) به صورت زیر نوشته میشود:
\[
\vec{a}=-20\vec{i}+34.64\vec{j}
\]
مرحله 2: تجزیه بردار \(b\) به مؤلفههای \(x\) و \(y\)
همانند آموزش تجزیه بردار، ابتدا مؤلفههای بردار \(b\) را محاسبه میکنیم.
با توجه به اینکه بردار \(b\) زاویه \(30^\circ\) نسبت به محور \(x\) می سازد:
$$ a_x=b\cos30^\circ $$
پس:
$$ a_x=50\cos30^\circ=43.3 $$
و
$$ a_y=b\sin30^\circ $$
بنابراین:
$$ a_y=50\sin30^\circ=25 $$
بنابراین بردار \(b\) به صورت زیر نوشته میشود:
\[
\vec{b}=43.3\vec{i}+25\vec{j}
\]
مرحله 3: جمع مولفه های دو بردار در راستای \(x\)
ابتدا مؤلفههای \(xx\) دو بردار را با یکدیگر جمع میکنیم:
\[
R_x=a_x+b_x
\]
سپس مقادیر را جایگذاری میکنیم:
\[
R_x=-20+43.3
\]
بنابراین:
مرحله 4: جمع مولفه های دو بردار در راستای \(y\)
مؤلفههای \(yy\) دو بردار را با یکدیگر جمع میکنیم:
\[
R_y=a_y+b_y
\]
سپس مقادیر را جایگذاری میکنیم:
\[
R_x=34.64+25
\]
بنابراین:
مرحله 5: نوشتن بردار برآیند
حالا مؤلفههای بهدستآمده را در رابطه بردار برآیند قرار میدهیم:
\[
\vec{R}=R_x\vec{i}+R_y\vec{j}
\]
بنابراین:
\[
\boxed{\vec{R}=23.3\vec{i}+59.64\vec{j}}
\]
بنابراین:
جمع بردارها یکی از مفاهیم پایه در استاتیک و مکانیک مهندسی است و در مسائل مختلفی مانند محاسبه نیروی برآیند، تحلیل نیروهای وارد بر اجسام، محاسبه گشتاور و بررسی تعادل استفاده میشود.
مثلاً در مسائل تعادل، نیروهای مختلف وارد بر یک جسم باید به صورت برداری با یکدیگر جمع شوند.
همچنین در محاسبه گشتاور نیرو، جهت و مؤلفههای نیرو اهمیت زیادی دارند.
ارشد مهندسی مکانیک، امیدوارم بتوانم خدمتگزار خوبی برای مردم کشورم باشم.
200,000 تومان
200,000 تومان
200,000 تومان
150,000 تومان
150,000 تومان
130,000 تومان
95,000 تومان
55,000 تومان
50,000 تومان
خوشحال میشیم که نظرتون را در مورد این آموزش با ما درمیان بگذارید
